摘要
      本文論述了在算法分析領(lǐng)域一個重要問題——時間復(fù)雜度分析的基礎(chǔ)內(nèi)容。本文將首先明確時間復(fù)雜度的意義，而后以形式化方式論述其在數(shù)學(xué)上的定義及相關(guān)推導(dǎo)。從而幫助大家從本質(zhì)上認清這個概念。
　　前言
      通常，對于一個給定的算法，我們要做兩項分析。第一是從數(shù)學(xué)上證明算法的正確性，這一步主要用到形式化證明的方法及相關(guān)推理模式，如循環(huán)不變式、數(shù)學(xué)歸納法等。而在證明算法是正確的基礎(chǔ)上，第二部就是分析算法的時間復(fù)雜度。算法的時間復(fù)雜度反映了程序執(zhí)行時間隨輸入規(guī)模增長而增長的量級，在很大程度上能很好反映出算法的優(yōu)劣與否。因此，作為程序員，掌握基本的算法時間復(fù)雜度分析方法是很有必要的。
      但是很多朋友并不能清晰的理解這一概念，究其原因，主要是因為沒有從數(shù)學(xué)層面上理解其本質(zhì)，而是習(xí)慣于從直觀理解。下面，我們就一步步走近算法時間復(fù)雜度的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

　　算法時間復(fù)雜度的數(shù)學(xué)意義
      從數(shù)學(xué)上定義，給定算法A，如果存在函數(shù)F(n)，當(dāng)n=k時，F(xiàn)(k)表示算法A在輸入規(guī)模為k的情況下的運行時間，則稱F(n)為算法A的時間復(fù)雜度。
      這里我們首先要明確輸入規(guī)模的概念。關(guān)于輸入規(guī)模，不是很好下定義，非嚴格的講，輸入規(guī)模是指算法A所接受輸入的自然獨立體的大小。例如，對于排序算法來說，輸入規(guī)模一般就是待排序元素的個數(shù)，而對于求兩個同型方陣乘積的算法，輸入規(guī)模可以看作是單個方陣的維數(shù)。為了簡單起見，在下面的討論中，我們總是假設(shè)算法的輸入規(guī)模是用大于零的整數(shù)表示的，即n=1,2,3,……,k,……
      我們還知道，對于同一個算法，每次執(zhí)行的時間不僅取決于輸入規(guī)模，還取決于輸入的特性和具體的硬件環(huán)境在某次執(zhí)行時的狀態(tài)。所以想要得到一個統(tǒng)一精確的F(n)是不可能的。為了解決這個問題，我們做一下兩個說明：
      1.忽略硬件及環(huán)境因素，假設(shè)每次執(zhí)行時硬件條件和環(huán)境條件是完全一致的。
      2.對于輸入特性的差異，我們將從數(shù)學(xué)上進行精確分析并帶入函數(shù)解析式。

　　算法時間復(fù)雜度分析示例
      為了便于朋友們理解，我將不會采用教科書上慣用的快速排序、合并排序等經(jīng)典示例進行分析，而是使用一個十分簡單的算法作為示例。我們先來定義問題。
      問題定義：
      輸入——此問題輸入為一個有序序列，其元素個數(shù)為n，n為大于零的整數(shù)。序列中的元素為從1到n這n個整數(shù)，但其順序為完全隨機。
      輸出——元素n所在的位置。（第一個元素位置為1）

      這個問題非常簡單，下面直接給出其解決算法之一（偽代碼）：

      LocationN(A)
      {
            for(int i=1;i<=n;i++)-----------------------t1
            {
                  if(A[i] == n) ----------------------------t2
                        { return i; }------------------------t3
            }
      }

      我們來看看這個算法。其中t1、t2和t3分別表示此行代碼執(zhí)行一次需要的時間。
      首先，輸入規(guī)模n是影響算法執(zhí)行時間的因素之一。在n固定的情況下，不同的輸入序列也會影響其執(zhí)行時間。最好情況下，n就排在序列的第一個位置，那么此時的運行時間為“t1+t2+t3”。最壞情況下，n排在序列最后一位，則運行時間為“n*t1+n*t2+t3=(t1+t2)*n+t3”。可以看到，最好情況下運行時間是一個常數(shù)，而最壞情況下運行時間是輸入規(guī)模的線性函數(shù)。那么，平均情況如何呢？
      問題定義說輸入序列完全隨機，即n出現(xiàn)在1...n這n個位置上是等可能的，即概率均為1/n。而平均情況下的執(zhí)行次數(shù)即為執(zhí)行次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，其解為：

      E
      = p(n=1)*1+p(n=2)*2+...+p(n=n)*n
      = (1/n)*(1+2+...+n)
      = (1/n)*((n/2)*(1+n))
      = (n+1)/2

      即在平均情況下for循環(huán)要執(zhí)行(n+1)/2次，則平均運行時間為“(t1+t2)*(n+1)/2+t3”。
      由此我們得出分析結(jié)論：
      t1+t2+t3 <= F(n) <= (t1+t2)*n+t3，在平均情況下F(n) = (t1+t2)*(n+1)/2+t3

算法的漸近時間復(fù)雜度
      以上分析，我們對算法的時間復(fù)雜度F(n)進行了精確分析。但是，很多時候，我們不需要進行如此精確的分析，原因有下：
      1.在較復(fù)雜的算法中，進行精確分析是非常復(fù)雜的。
      2.實際上，大多數(shù)時候我們并不關(guān)心F(n)的精確度量，而只是關(guān)心其量級。
      基于此，提出漸近時間復(fù)雜度的概念。在正式給出漸近時間復(fù)雜度之前，要先給出幾個數(shù)學(xué)定義：

      定義一：Θ(g(n))={f(n) | 如果存在正常數(shù)c1、c2和正整數(shù)n0，使得當(dāng)n>=n0時，0<c1g(n)<=f(n)<=c2g(n)恒成立}
      定義二：Ο(g(n))={f(n) | 如果存在正常數(shù)c和正整數(shù)n0，使得當(dāng)n>=n0時，0<=f(n)<=cg(n)恒成立}
      定義三：Ω(g(n))={f(n) | 如果存在正常數(shù)c和正整數(shù)n0，使得當(dāng)n>=n0時，0<=cg(n)<=f(n)恒成立}

      可以看到，三個定義其實都定義了一個函數(shù)集合，只不過集合中的函數(shù)需要滿足的條件不同。有了以上定義，就可以定義漸近時間復(fù)雜度了。
      不過這里還有個問題：F(n)不是確定的，他是在一個范圍內(nèi)變動的，那么我們關(guān)心哪個F(n)呢？一般我們在分析算法時，使用最壞情況下的F(n)來評價算法效率，原因有如下兩點：
      1.如果知道了最壞情況，我們就可以保證算法在任何時候都不能比這個情況更壞了。
      2.很多時候，算法運行發(fā)生最壞情況的概率還是很大的，如查找問題中待查元素不存在的情況。且在很多時候，平均情況的漸近時間復(fù)雜度和最壞情況的漸近時間復(fù)雜度是一個量級的。

      于是給出如下定義：設(shè)F(n)為算法A在最壞情況下F(n)，則如果F(n)屬于Θ(g(n))，則說算法A的漸近時間復(fù)雜度為g(n)，且g(n)為F(n)的漸近確界。

      還是以上面的例子為例，則在上面定義中F(n) = (t1+t2)*n+t3。則F(n)的漸近確界為n，其證明如下：

      證明：
      設(shè)c1=t1+t2，c2=t1+t2+t3，n0=2
      又因為 t1,t2,t3均大于0
      則，當(dāng)n>n0時，0<c1n<=F(n)<=c2n 即 0<(t1+t2)*n<=(t1+t2)*n+t3<=(t1+t2+t3)*n恒成立。
      所以 F(n)屬于Θ(n)
      所以 n是F(n)的漸近確界
      證畢

      在實際應(yīng)用中，我們一般都是使用漸近時間復(fù)雜度代替實際時間復(fù)雜度來進行算法效率分析。一般認為，一個漸近復(fù)雜度為n的算法要優(yōu)于漸近復(fù)雜度為n^2的算法。注意，這并不是說漸近復(fù)雜度為n的算法在任何情況下都一定更高效，而是說在輸入規(guī)模足夠大后（大于臨界條件n0），則前一個算法的最壞情況總是好于后一個算法的最壞情況。事實證明，在實踐中這種分析是合理且有效的。
      類似的，還可以給出算法時間復(fù)雜度的上確界和下確界：
      設(shè)F(n)為算法A在最壞情況下F(n)，則如果F(n)屬于Ο(g(n))，則說算法A的漸近時間復(fù)雜度上限為g(n)，且g(n)為F(n)的漸近上確界。
      設(shè)F(n)為算法A在最壞情況下F(n)，則如果F(n)屬于Ω(g(n))，則說算法A的漸近時間復(fù)雜度下限為g(n)，且g(n)為F(n)的漸近下確界。
      這里一定要注意，由于我們是以F(n)最壞情況分析的，所以，我們可以100%保證在輸入規(guī)模超過臨界條件n0時，算法的運行時間一定不會高于漸近上確界，但是并不能100%保證算法運行時間不會低于漸近下確界，而只能100%保證算法的最壞運行時間不會低于漸近下確界。

　　總結(jié)
      算法時間復(fù)雜度分析是一個很重要的問題，任何一個程序員都應(yīng)該熟練掌握其概念和基本方法，而且要善于從數(shù)學(xué)層面上探尋其本質(zhì)，才能準確理解其內(nèi)涵。在以上分析中，我們只討論了“緊確界”，其實在實際中漸近確界還分為“緊確界”和“非緊確界”，有興趣的朋友可以查閱相關(guān)資料。
      好了，本文就到這里了，希望本文內(nèi)容能對各位有所幫助。

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